Funciones. Correspondencia.

Entender los conceptos de Relación y de Función es de suma importancia en Matemática, para lograr esa comprensión es necesario adentrarnos en la noción de Correspondencia, ya que esta tiene un papel fundamental en las relaciones y funciones.
Lo primero es entender que Correspondencia es equivalente a Relación. En nuestra lengua, decir “en relación a”, es equivalente a decir “corresponde a”.
Ejemplo: En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un precio.Definición matemática de Relación y de Función.

Concepto de relación y función.

En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango. Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.

Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B.
Ejemplo. Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5} el producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados: A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}
Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos.

Dominio y rango de una relación.

El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango.

Por ejemplo, Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el doble de x” o “y = 2x”. Encontrar dominio y rango de la relación.
El producto cartesiano es: A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3,5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}

Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo: R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es preimagen de 4”. Así, el dominio y rango son: D = {2, 3, 4} y Rg = {4, 6, 8}

A continuación compartimos material audiovisual que nos ayudará a comprender mejor el tema:

Representación gráfica de las relaciones.

Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano.
Veamos el siguiente ejemplo. Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la regla R = {(x,y) / y = 2x + 1}, graficar R.
Los pares ordenados que pertenecen a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son: R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
Y la gráfica correspondiente es la siguiente:

Compartimos el siguiente material que nos aclarará los conceptos.

Propiedades de las funciones.

• Continuidad: simplemente observaremos si la función tiene un trazo continuo o no.
• Monotonía: aprenderemos a observar y describir matemáticamente el crecimiento y decrecimiento de una función.
• Simetría: estudiaremos los diferentes tipos de simetría en funciones y analizaremos este concepto matemáticamente.
• Periodicidad: que una función sea periódica o no puede simplificar su estudio, aprenderemos a describir y detectar esta propiedad.

Continuidad.

Si una función y=f(x) pude representarse en todo su dominio mediante un trazo continuo decimos que dicha función es continua. Es decir, si puedes dibujar la gráfica de la función sin levantar el lápiz dicha función es continua.
En cambio, cuando tenemos que levantar el lápiz para trazar la gráfica de la función, se dice que es discontinua. Puede ocurrir que una función sea discontinua en su dominio para determinados puntos.

Monotonía.

Estudiaremos la monotonía de la función, es decir que vamos a estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función. Todos entendemos qué es crecer y decrecer y lo único que tenemos que tener bien claro es que siempre consideramos que vamos de izquierda a derecha en el estudio del crecimiento de una función, es decir, estamos analizando si la función crece o decrece según aumenta el valor de la x.
Ya sabes que una pendiente positiva de la recta significa que la recta «sube», por lo tanto una recta con pendiente positiva es una función creciente en todo su dominio. Análogamente una recta con pendiente negativa significa que la recta «baja», por lo tanto una recta con pendiente negativa es una función decreciente en todo su dominio.

Lo mismo podemos decir en una función: un tramo de función en el que según avanzamos a lo largo del eje X la gráfica sube es un tramo donde la función es creciente y un tramo de función en el que según avanzamos a lo largo del eje X la gráfica baja es un tramo donde la función es decreciente.
Los tramos de crecimiento y decrecimiento de una función los expresamos siempre mediante intervalos del eje X abiertos, es decir, expresas entre dónde y dónde (del eje X) crece la función. Los máximos y los mínimos los indicamos con sus coordenadas.

Máximos o mínimos absolutos y relativos
Un máximo de una función se denomina absoluto cuando es el que tiene mayor ordenada de todos los máximos de la función (es el mayor de todos los máximos de la función). Análogamente, un mínimo de una función se denomina absoluto cuando es el que tiene menor ordenada de todos los mínimos de la función (es el menor de todos los mínimos de la función). Los máximos y mínimos de una función que no sean absolutos se denominan relativos.

Simetría.

Gráficamente es muy fácil de observar la simetría. Matemáticamente lo que tenemos es que f(x)=f(-x). Es decir, que a la abscisa x>0 le va a corresponder la misma ordenada (o y) que a la abscisa x<0.
Podemos encontrar también la denominada simetría respecto al origen. En este caso tenemos que f(x)=-f(-x). Gráficamente se observa que es como si la función se reflejara en la recta que divide en dos partes iguales a los cuadrantes 2 y 4, es decir, dicha recta es ahora el eje de simetría.
Matemáticamente lo que tenemos es que, por ejemplo, si para x=1 la ordenada es y=1, tendremos que para la abscisa opuesta (x=-1), la ordenada es la opuesta también (y=-1).

Periodicidad.

Recordemos que un fenómeno se dice que es periódico si siempre transcurre el mismo intervalo de tiempo entre la primera vez que el ocurre el fenómeno, la segunda vez que ocurre, la tercera…Ese intervalo de tiempo se denomina, como no, período.
Existen funciones que son periódicas, es decir, que sus valores se repiten siempre cada intervalo determinado del eje x. Ese intervalo es el período de la función.

Ceros de una función.

Los ceros de una función son los puntos en los que la gráfica corta al eje x. Donde una función toma el valor cero (0), también llamado «raíz».

Función par e impar.

Una función f(x) es par si para cualquier x del dominio se verifica: f(x)=f(−x). Observemos que las funciones pares son simétricas respecto del eje vertical.
Una función f(x) es impar si para cualquier x del dominio se verifica: f(x)=−f(−x). Observemos que las funciones pares son simétricas respecto del origen.

Puntos de corte, crecimiento y decrecimiento.

Máximos y mínimos, continuidad.

Simetría y periodicidad.

Aquí pueden bajar el apunte con ejercicios para trabajar en clase.