Números Racionales.

Los números racionales son aquellos que se pueden expresar en forma de cociente de dos números enteros. Decimos “racional” porque representa una parte de un todo (la unidad), es decir una ración; al conjunto de los números racionales lo designamos con el símbolo “”.
El conjunto está formado por los números enteros y por los fraccionarios. Los números enteros son racionales, porque se pueden expresar como el cociente de ellos mismos y la unidad:. Luego, los números racionales no enteros se llaman fraccionarios.

Las fracciones.

Los números naturales, los enteros, las expresiones decimales exactas y las periódicas pueden ser expresadas en forma de fracción, por lo tanto, todos ellos son números racionales.
Una fracción es la expresión matemática de una cantidad dividida en otra cantidad, que expresamos así: ; donde “a” se llama “numerador” y “b” denominador, con b 0. El número de arriba (numerador) te dice cuántas porciones tienes y el de abajo (denominador) te dice en cuántas partes se ha dividido la unidad. Por ejemplo el número , indica que la unidad se ha partido en 4, y de ellas he tomado 1.
Esto lo podemos comprobar en la siguiente imágen:

Si lo expresamos en la recta numérica, veremos que dividimos la unidad en tantas partes como indica el denominador de la fracción y las partes que tomo son las que marca el numerador, en la imagen vemos como señalar :

Y en los vídeos que siguen podemos aprender más:

Fracciones propias, impropias y aparentes.

Una fracción propia es aquella en la que, si numerador y denominador son positivos, el numerador es menor que el denominador, por ejemplo ; ; en la recta numérica se ubican entre el 0 y el 1. Por el contrario, una fracción impropia será la fracción en donde el numerador es mayor que el denominador, por ejemplo ; ; por lo tanto, son mayores que la unidad.
Finalmente una fracción aparente es aquella en la que el numerador es igual al denominador, por ello son iguales a la unidad, por ejemplo ; . También son aparentes las fracciones en las que, si divido el numerador y el denominador obtengo un número entero, es decir más de una vez la unidad; sería el caso de ; .
En este tema también tenemos un buen vídeo:

Las fracciones impropias y los números mixtos.

Un número mixto es la representación de una fracción impropia, en forma de número entero y fracción propia; es una manera práctica de escribir unidades de medida (peso, tiempo, capacidad), recetas de cocina, etc.
La forma de calcularlos es separando las unidades que contiene la fracción impropia y lo escribimos así: si tenemos la fracción será igual a .
En los vídeos que siguen podemos seguir aprendiendo:

Fracciones equivalentes.

Algunas fracciones parecen diferentes pero en realidad son la misma, son las denominadas fracciones equivalentes. Dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad, y se escriben distinto. Por ejemplo, las fracciones , y son equivalentes, ya que representan la cantidad «dos tercios». Dos fracciones son equivalentes si pueden obtenerse una a partir de la otra, multiplicando (o dividiendo) el numerador y el denominador por el mismo número.
Repasamos el tema para aprenderlo mejor en el vídeo:

Además, las fracciones equivalentes representan un mismo punto en la recta numérica. Lo podemos ver en el gráfico:

Simplificar y amplificar.

Si se multiplica o divide el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número entero se obtiene una fracción equivalente. Cuando multiplicamos el numerador y denominador de una fracción por un mismo número decimos que la amplificamos. En cambio, al proceso de dividir numerador y denominador de una fracción por el mismo número lo llamamos simplificación. Cuando buscamos la fracción más simple equivalente, obtenemos como resultado una fracción irreducible; la llamamos así porque su m.c.d. es 1.
También a este tema, lo vamos a continuar estudiando con un vídeo:

Comparar y ordenar fracciones.

Para comparar fracciones, tendremos en cuenta si tienen el mismo denominador o no.
De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador, por ejemplo: .
En cambio, de dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador, veamos:
Finalmente, para comparar fracciones que tienen distintos denominadores y distintos numeradores, puedes seguir los siguientes pasos:

1. Encontrar fracciones equivalentes a las fracciones dadas, donde ambas tengan el mismo denominador.
2. Comparar los números de las fracciones encontradas.

Hay varios procedimientos para aprender a ordenar las fracciones, veamos:

• Fracciones que tienen el mismo denominador: de todas ellas la mayor será la que tenga un numerador mayor
• Fracciones con igual numerador, en este caso será mayor la que tenga menor denominador.
• Fracciones con distinto denominador y numerador, aquí se empleará la técnica del mínimo común múltiplo.

A continuación podemos ver ejemplos y ejercicios:

Fracciones decimales.

Las fracciones decimales son las que tienen por denominador una potencia de 10, es decir, la unidad seguida de ceros; como sería 10 (); 100 (); 1000 (); 10000 (), etc. Por ejemplo

Es posible entonces escribir fracciones en forma de número decimal, es decir sin el denominador; para ello se escribe sólo el numerador de la fracción y se separan con una coma tantas cifras decimales como ceros tenga el denominador.
De la misma forma, para escribir un número decimal en forma de fracción decimal, se escribe como numerador de la fracción el número decimal sin coma y como denominador se pone la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número.
Lo vemos muy bien en el siguiente vídeo:

Conocer bien este tema hace que el calcular las operaciones, tales como las sumas o multiplicaciones de la fracciones, sea mucho más simple. Los números decimales son en si un tipo de número fraccionario.
Por último y antes de ver las operaciones que podemos realizar con números racionales, debemos saber que los mismos poseen una propiedad llamada densidad; la misma dice que entre dos números racionales siempre hay otro racional.

Es decir que entre dos fracciones siempre se puede intercalar otra fracción. Por ejemplo, veamos si podemos intercalar otra fracción entre y . Para ello, en primer lugar vamos a amplificar ambas fracciones multiplicando numerador y denominador por 4. Podemos observar el proceso en la imagen:


Y si ahora volvemos a colocar las fracciones originales, y la nueva fracción que intercalamos, comprobamos que el proceso es posible:

Suma y resta de fracciones.

Para sumar o restar fracciones, se distinguen dos casos. Si tienen el mismo denominador, entonces se suman o se restan los numeradores y se deja el denominador común. Es posible que el resultado se pueda simplificar.

En cambio, si tienen distinto denominador, hay que obtener fracciones equivalentes a las fracciones dadas, para que tengan denominador común y luego sumar o restar. En general lo que haremos es obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores. Al final de la operación, puede que haga falta realizar otra simplificación.

Propiedades de la suma de fracciones.

• La suma de fracciones es conmutativa.



• La suma de fracciones es asociativa.

En la práctica, conviene aplicar éstas propiedades para hacer más sencillo el cálculo de la suma.

Multiplicación de fracciones.

En la multiplicación de fracciones, las fracciones homogéneas y heterogéneas se multiplican de la misma forma. Hay 3 simples pasos para multiplicar fracciones:

1. Multiplica los números de arriba (los numeradores).
2. Multiplica los números de abajo (los denominadores).
3. Simplifica la fracción.

Veamos la imagen:
Vemos como es la forma de operar en el siguiente vídeo:

Propiedades de la multiplicación de fracciones.

Fracción Inversa.

Dada una fracción cualquiera, obtenemos su fracción inversa intercambiando el numerador y el denominador, es decir que la fracción inversa de una fracción es .

Luego podemos observar que el producto de una fracción por su inversa es igual a 1. Es decir que x = 1

División de fracciones.

La división de fracciones es una operación aritmética por la que partiendo de dos fracciones se obtiene una tercera. Se puede realizar siguiendo tres métodos que, lógicamente, darán el mismo resultado:
Multiplicar por la inversa
Consiste en «Invertir» la segunda fracción y multiplicar «directamente», es decir, numerador por numerador, y denominador por denominador:
Ejemplo:

Multiplicar de forma cruzada
El resultado que obtenemos por éste método es otra fracción que será el resultado de los siguientes pasos:
Su numerador resultará de multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda. El denominador lo obtendremos multiplicando el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda:
Lo vemos con un ejemplo:

Como fracción de fracciones.

Se representa la primera fracción en el numerador y la segunda en el denominador, y obtenemos otra fracción, donde se divide el producto de extremos entre el producto de medios:
Ejemplo:

Compartimos a continuación un vídeo con los conceptos y ejemplos resueltos: