Las operaciones con conjuntos.

El álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones con conjuntos y obtener como resultado otro conjunto.
Centraremos nuestro estudio en las siguientes: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
Para obtener una mejor comprensión, necesitamos en primer lugar conocer adecuadamente la teoría de conjuntos, que encontramos desarrollada en el siguiente artículo..

Determinación de un conjunto.
Un conjunto se puede determinar de dos maneras: por extensión y por comprensión.
Por extensión:
Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos. Para ello los escribimos cada elemento separados por comas y encerrados entre llaves. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales menores que 9: A = {1,2,3,4,5,6,7,8}
Por comprensión:
Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos. Por ejemplo, el conjunto formado por las letras vocales del abecedario: B = {x / x es una letra vocal}. Dos conjuntos son idénticos si, y sólo si, contienen los mismos elementos.

Lo vemos de explicado muy simple en el siguiente vídeo:

En tanto que, en los siguientes vídeos tenemos algunos ejercicios resueltos:

Unión de conjuntos.

La unión de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los elementos que están en el conjunto A o en el conjunto B. La unión de dos conjuntos de denota como A ∪ B. También, se puede escribir como A ∪ B = {x|x∈A o x∈B}
Es decir que al unir dos conjuntos, el resultado contiene a todos los elementos de ambos conjuntos.
Además en la unión de conjuntos se cumple las siguientes propiedades:

• Conmutativa: por lo tanto A ∪ B = B ∪ A
• Asociativa: es decir que dados tres o mas conjuntos tendremos (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Podemos verlo de forma simple en el siguiente vídeo:

Intersección de conjuntos.

Realizar la intersección de dos o más conjuntos, es definir un nuevo conjunto formado solamente por aquellos elementos que estén presentes en todos los conjuntos en cuestión. En otras palabras: sólo forman parte del nuevo conjunto, los elementos que tengan en común.
Existe un símbolo matemático para la intersección: ∩, como el símbolo unión invertido.
Para poner un ejemplo,la intersección de dos conjuntos llamados G y H se denota de la siguiente manera: G ∩ H.
En la intersección de conjuntos se cumple las siguientes propiedades:

• Asociativa: es decir que, R ∩ S ∩ T = (R ∩ S) ∩ T = =R ∩ (S ∩ T)
• Conmutativa: de modo tal que, R ∩ S ∩ T = R ∩ T ∩ S = T ∩ R ∩ S
• Distributiva: La unión es distributiva con respecto a la intersección, (R ∩ S) ∪ T = (R ∪ T) ∩ (S ∪ T). La intersección de conjuntos es distributiva con respecto a la unión, (R ∪ S) ∩ T = (R ∩ T) ∪ (S ∩ T)

Lo podemos ver en los siguientes vídeos:

Diferencia de conjuntos.

Operación en la cual dos conjuntos, A y B, especifican cuales elementos de uno no están en el otro, formando un nuevo conjunto llamado diferencia. La diferencia del conjunto A y el conjunto B, se representa como: A-B. La diferencia del conjunto B y el conjunto A, se representa como: B-A. Ambas operaciones arrojan resultados distintos, cuando los conjuntos no son iguales.
En la diferencia de conjuntos se cumple las siguientes propiedades: la diferencia de conjuntos no es asociativa, y no es conmutativa.
La diferencia es distributiva con respecto a la unión: (R ∪ S) – T = (R – T) ∪ (S – T); y a la intersección de conjuntos: (R ∩ S) – T = (R – T) ∩ (S – T).

Podemos complementar con el siguiente vídeo:

Diferencia simétrica de conjuntos.

Dados dos conjuntos A y B, su diferencia simétrica, A Δ B, es un conjunto que contiene los elementos de A y los de B, menos los que son comunes a ambos.
En la diferencia simétrica de conjuntos se cumple las siguientes propiedades:

• Asociativa: (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)
• Conmutativa: A Δ B = B Δ A
• Distributiva respecto a la intersección: A ∩ (B Δ C) = (A ∩ B) Δ (A ∩ C)

Vemos los conceptos expresados en el siguiente vídeo:

Complemento de conjuntos.

Para trabajar el complemento de conjuntos debemos recordar que existen conjuntos universales. Éstos son los que tienen todos los elementos de una clase, es decir que se usa como referencia para formar otros conjuntos, y se representa con la letra U.
El complemento de un conjunto A se forma con los elementos que le hacen falta al conjunto A para ser igual al conjunto universal. Esto de representa con A^c. Luego A^c = U – A
El complemento de conjuntos cumple las siguientes propiedades:

• Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno, es decir: U^c = ∅
• El complemento del complemento de A es el propio A: (A^c)^c = A
• La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal: A ∪ A^c = U
• Un conjunto y su complementario son disjuntos: A ∩ A^c = ∅
• El complementario de A está contenido en el complementario de cualquier subconjunto de A: B ⊆ A implica que A^c ⊆ B^c

Lo vemos en el siguiente vídeo:

En el siguiente link pueden bajar el apunte con los temas y los ejercicios para trabajar en clase.
Aquí pueden bajar el trabajo práctico Nº 2.
Nos vemos en el aula…