Ecuación Lineal.

Una ecuación de primer grado se denomina ecuación lineal. Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que se puede expresar de la forma ax+by=c; donde x e y son las incógnitas, y a, b y c son números conocidos. Por lo tanto, una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es un par de valores (x_i , y_i) que hacen cierta la igualdad. Además, una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones y si las representamos gráficamente forman una recta.

Por Ejemplo: 3x + y = 12 es una ecuación lineal con dos incógnitas donde: Coeficiente de x = 3 (a), Coeficiente de y = 1 (b), Término independiente = 12 (c).
Si tenemos los siguientes valores: x = 1 e y = 9 vemos que es una solución de la ecuación; Observa que 3*(1) + 9 = 12
Para obtener más soluciones se da a x el valor que querramos, luego se calcula la y. Si 3x + y = 12, entonces: y = 12 – 3x
Para x = 0 ==> vemos que y = 12 – 3 * (0) = 12 ; En cambio si x = 1 ==> tendremos y = 12 – 3 * (1) = 9; Cuando x = 2 ==> obtendremos y = 12 – 3 * (2) = 6; Y para x = 3 ==> y = 12 – 3 * (3) = 3

Finalmente, si representamos los puntos en un sistema de ejes coordenados forman una recta:

Sistemas de ecuaciones.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de valores (x_i , y_i) que verifica las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar una solución.
Por ejemplo:

Gráficamente:

Número de Soluciones

Un sistema de ecuaciones, según el número de soluciones que tenga, se llama:
Sistema Compatible Determinado.
Tiene una única solución. Es el caso del ejemplo anterior, la solución del sistema es el punto donde las rectas coinciden. La representación gráfica del sistema son dos rectas que se cortan en un punto.

Sistema Compatible Indeterminado.
Cuando tiene infinitas soluciones. Hay sistemas cuyas ecuaciones dicen lo mismo o que una ecuación es proporcional a la otra, es decir, tenemos dos veces la misma ecuación. Por ejemplo:

En el primer caso tenemos que las dos ecuaciones son idénticas y en el segundo tenemos que la segunda ecuación es la misma, pero multiplicada por 2; entonces si dividimos toda la ecuación por 2, obtendremos dos ecuaciones idénticas. Finalmente la conclusión es que el sistema tiene soluciones, pero éstas son infinitas. La representación gráfica del sistema son dos rectas coincidentes (se superponen).

Sistema Incompatible.
Si no tiene solución. Hay sistemas cuyas ecuaciones dicen cosas contradictorias. Por ejemplo:

En este caso, nos dice por una parte que x+3y=6 y por otra que x+3y=12 y eso es absolutamente imposible porque para eso tendrían que adoptar las incógnitas valores distintos en cada ecuación y entonces no sería un sistema de ecuaciones. En consecuencia el sistema no tiene soluciones comunes.
La representación gráfica del sistema son dos rectas que son paralelas. Dos sistemas de ecuaciones se dicen equivalentes cuando tienen la misma solución.

Podemos resumirlo de la siguiente forma:

Métodos de resolución.

Método de sustitución.

Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra. Describimos los pasos que conviene dar para aplicar este método:

1. Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Sustituimos la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
3. Resolvemos esta ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5. Se ha obtenido, así, la solución.

Aquí ampliamos el concepto:

Método de igualación.

Éste método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. Describamos los pasos que conviene dar para aplicar este método:

1. Comenzamos despejando la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Además, se igualan las expresiones, lo cual da lugar a una ecuación con una incógnita.
3. Finalmente se resuelve esta ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5. Y así hemos llegado a la solución.

Lo vemos en el vídeo:

Método de reducción.

Este método consiste en preparar las dos ecuaciones para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas. Restando las ecuaciones resultantes, miembro a miembro, se obtiene una ecuación con sólo una incógnita (se ha reducido el número de incógnitas). Resumamos los pasos que debemos dar:

1. Se preparan las dos ecuaciones (multiplicándolas por los números que convenga).
2. Al restarlas desaparece una de las incógnitas.
3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. El valor obtenido se sustituye en una de las iniciales y se resuelve.
5. Se obtiene, así, la solución.

También lo analizamos en un vídeo:

Método gráfico.

Para finalizar compartimos un vídeo que nos explica como resolver por éste método.

Aquí pueden bajar el apunte con ejercicios para trabajar en clase, también lo tienen disponible en fotocopia.

Nos vemos en el aula…..