Lógica simbólica.

Una oración es una expresión gramaticalmente correcta que posee sentido completo. Las oraciones pueden ser de varios tipos: enunciativas, interrogativas, exclamativas, de posibilidad, etc.
La lógica simbólica sólo se interesa de las oraciones que pueden ser verdaderas o falsas: y que denominamos como enunciados.
Un enunciado es una expresión que tiene sentido completo y puede ser verdadero o falso, por ejemplo, “Hoy está soleado”.
Un argumento o deducción es un razonamiento por el cual de un enunciado inicial (llamado premisa) se deduce un enunciado final (llamado conclusión). La forma de los argumentos es la estructura de éstos. Desde el punto de vista lógico lo más importante es la forma o estructura de los argumentos (no sus contenidos).

Lógica formal y verdad lógica.

La lógica formal: ciencia abstracta que tiene por objeto el análisis formal de los argumentos, prescindiendo de su contenido. La verdad o falsedad se dice de los enunciados; por el contrario, la validez formal o corrección es un atributo de los argumentos o deducciones. Un argumento es válido (o correcto) cuando de las premisas se sigue necesariamente su conclusión.
La lógica no decide acerca de la verdad de los enunciados, solo establece cuándo unas premisas, sean verdaderas o no, permiten extraer una conclusión. Si es así, el razonamiento será válido, correcto. Si no es así, el razonamiento será inválido, incorrecto.

Razonamiento.

Una forma de adquirir conocimiento es el razonamiento. Hay varios modos o formas de razonar o argumentar sobre una conclusión. Ciertas formas de razonamiento parecen mostrar que si se suponen ciertas premisas, entonces la conclusión se sigue necesariamente. A tales razonamientos se los ha denominado deductivos; y forman el objetivo central de la lógica. En un sentido amplio, la misma hace referencia al estudio de todos los razonamientos, y en un sentido estricto al estudio del razonamiento deductivo.
Un tipo de razonamiento deductivo se basa en la lógica proposicional. La lógica proposicional toma como unidades básicas a las proposiciones y tiene en cuenta cómo se combinan entre ellas por medio de conectivos lógicos para formar argumentos válidos.

Proposiciones.

Una proposición es una sentencia declarativa que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. También podríamos decir que una proposición es una sentencia que expresa una propiedad para un individuo.
La verdad (V) o falsedad (F) de una proposición se llama valor de verdad y está dada por algún criterio independiente de la proposición. Las sentencias exclamativas, las interrogativas y las imperativas tales como: ¡Qué bueno!, ¿Está soleado? no son proposiciones puesto que no pueden ser declaradas como verdaderas o falsas.

Podemos apreciar una buena explicación en los siguientes vídeos:

El cálculo proposiconal.

En el cálculo proposicional se usan las últimas letras minúsculas del alfabeto (como p, q, r,…) para representar las proposiciones. Estos símbolos pueden modificarse o combinarse mediante conectivos lógicos dando lugar a las proposiciones compuestas.

Los conectivos lógicos.

Los conectivos lógicos que estudiaremos son: la negación: ¬ (también se suele usar ~) , la conjunción: ∧ , la disyunción: ∨ , la disyunción exclusiva: v (otra alternativa es ∆) , la implicación: ⇒ y la bicondicional o doble implicación: ⇔ .
A continuación vemos el siguiente vídeo, con una detallada explicación de cada uno de ellos.

Operaciones con proposiciones.

De la misma forma que aritmética se estudian las diferentes operaciones entre números (suma, resta, producto, cociente, etc.), en lógica estudiamos operaciones entre proposiciones, con el uso de los diferentes conectivos lógicos (negación, conjunción, disyunción, implicación y bicondicional).
Veamos el siguiente ejemplo para comprender mejor el tema:

Tablas de Verdad.

Las Tablas de verdad: son el resultado de representar todas las posibilidades de asignar valores a las letras enunciativas y ver lo que ocurre en cada una de ellas. Sirven para saber si una fórmula es consecuencia lógica de otra.
Para establecer el valor de verdad de una proposición, en primer lugar se traduce al lenguaje simbólico, a continuación se asigna el valor de verdad de la proposición simple, y finalmente operamos con los conectivos lógicos hasta hallar el valor de verdad de la proposición compuesta.
Hemos de tener en cuenta que el número de combinaciones posibles siempre es 2ⁿ , en donde 2 el número de valores de verdad (verdadero y falso) y “n” es el número de letras enunciativas (p, q, r,… etc.).
Veamos una breve explicación del caso:

La tautología.

Conociendo ya como se obtiene el resultado de una tabla de verdad estamos en condiciones de afirmar que el resultado de una tabla de verdad puede ser una tautología, una contradicción o una indeterminación.
Una tautología es una fórmula que es siempre verdadera, sean cuales sean los valores de verdad de las proposiciones que la integran (En la última columna todos los valores son “v”).

La contradicción.

Una contradicción es una fórmula que es siempre falsa, sean cuales sean los valores de verdad de las proposiciones que la integran (En la última columna todos los valores son “F”).

La indeterminación.

Por último Indeterminada es una fórmula que puede ser verdadera o falsa, según qué valores de verdad correspondan a las proposiciones que la integran.

Funciones Proposicionales.

Dadas las siguientes proposiciones: q: El perro es un animal, r: La rosa es un animal y s: La vaca es un animal. Las tres proposiciones tienen en común el predicado lingüístico “es un animal”, y tienen diferente el sujeto. La frase “es un animal” está dando una propiedad del sujeto. Si escribimos: x es un animal, obtenemos una oración que no es una proposición dado que su valor de verdad dependerá del valor de x. Así, si a x le damos el valor x = “El perro” obtenemos la proposición El perro es un animal que es verdadera, mientras que si a x le damos el valor x = “La rosa” obtenemos la proposición La rosa es un animal que es falsa.
En este ejemplo, la frase x es un animal es una función proposicional, y la variable x toma valores en un conjunto llamado universo del discurso. Entonces, las funciones proposicionales no son proposiciones, pero para cada valor que le demos a x obtenemos una proposición.

Notación.

A las funciones proposicionales las denotamos con una letra mayúscula seguida de la variable entre paréntesis. Por ejemplo: P(x) : x es un animal. También podemos tener funciones proposicionales con más de una variable, por ejemplo x es mayor que y. El valor de verdad en estos casos dependerá de los valores que tomen las variables x e y. Así, si x=0 e y=3, la proposición 0 es mayor que 3 es falsa, mientras que si x=4 e y=π, la proposición 4 es mayor que π es verdadera.

Cuantificadores.

Los cuantificadores nos permiten construir proposiciones a partir de funciones proposicionales ya sea particularizando o generalizando. Ejemplifiquemos esto. Si consideramos la función proposicional P(x):x es mayor que 0, podemos particularizar esto diciendo: Existe un número real que es mayor que 0, o generalizarlo diciendo Todos los números reales son mayores que 0.
Notemos que tanto en la particularización como en la generalización se especifica un conjunto en donde toma valores la variable, en este ejemplo el conjunto son los números reales.

Notación.

Existe una notación específica para la particularización y la generalización:
∃ x ∈ R | x > 0, que se lee existe (∃) un x que pertenece (∈) a los números reales (R) tal que x es mayor que 0; mientras que
∀ x ∈ R, x > 0 se lee para todo(∀) x que pertenece (∈) a los números reales (R) se cumple que(,) x es mayor que 0.
El símbolo ∀ se llama cuantificador universal y el símbolo ∃ es el cuantificador existencial.

Equivalencia Lógica.

En lógica, las declaraciones p y q son lógicamente equivalentes si tienen el mismo contenido lógico. Este es un concepto semántico, dos afirmaciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos (Mendelson 1979:56). La equivalencia lógica de p y q algunas veces se expresa como p≡q, Epq, o p⇔q.

En el link que sigue pueden bajar el apunte de la primera unidad: Matemáticas: Unidad Nº 1

Es todo por ahora. Recuerden que pueden comentar, aportar o preguntar al final de cada artículo publicado en el blog o en la página de facebook

Nos vemos en el aula….