{"id":2022,"date":"2016-08-27T14:46:07","date_gmt":"2016-08-27T17:46:07","guid":{"rendered":"http:\/\/hnaranjo.com\/blog\/?p=2022"},"modified":"2016-08-27T16:51:03","modified_gmt":"2016-08-27T19:51:03","slug":"sistemas-ecuaciones-lineales","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/hnaranjo.com\/blog\/sistemas-ecuaciones-lineales\/","title":{"rendered":"

Sistemas de ecuaciones lineales.<\/h3>

2016 - Matem\u00e1tica IV - 4\u00ba A\u00f1o A<\/h5>"},"content":{"rendered":"
\n

Ecuaci\u00f3n Lineal.<\/h6>\n

Una ecuaci\u00f3n de primer grado se denomina ecuaci\u00f3n lineal. Una ecuaci\u00f3n lineal con dos inc\u00f3gnitas es una ecuaci\u00f3n que se puede expresar de la forma ax+by=c; donde x<\/em> e y<\/em> son las inc\u00f3gnitas, y a<\/em>, b<\/em> y c<\/em> son n\u00fameros conocidos. Por lo tanto, una soluci\u00f3n de una ecuaci\u00f3n lineal con dos inc\u00f3gnitas es un par de valores (xi<\/sub> , yi<\/sub>) que hacen cierta la igualdad. Adem\u00e1s, una ecuaci\u00f3n lineal con dos inc\u00f3gnitas tiene infinitas soluciones y si las representamos gr\u00e1ficamente forman una recta.\n<\/p>\n

\nPor Ejemplo: 3x + y = 12 es una ecuaci\u00f3n lineal con dos inc\u00f3gnitas donde: Coeficiente de x = 3 (a), Coeficiente de y = 1 (b), T\u00e9rmino independiente = 12 (c).
\nSi tenemos los siguientes valores: x = 1 e y = 9 vemos que es una soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n; Observa que 3*(1) + 9 = 12
\nPara obtener m\u00e1s soluciones se da a x el valor que querramos, luego se calcula la y. Si 3x + y = 12, entonces: y = 12 – 3x
\nPara x = 0 ==> vemos que y = 12 \u2013 3 * (0) = 12 ; En cambio si x = 1 ==> tendremos y = 12 \u2013 3 * (1) = 9; Cuando x = 2 ==> obtendremos y = 12 \u2013 3 * (2) = 6; Y para x = 3 ==> y = 12 \u2013 3 * (3) = 3\n<\/p>\n

\nFinalmente, si representamos los puntos en un sistema de ejes coordenados forman una recta:<\/p>\n

\"ecuaciones:<\/a><\/div>\n<\/p>\n

Sistemas de ecuaciones.<\/h6>\n

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos inc\u00f3gnitas son dos ecuaciones lineales de las que se busca una soluci\u00f3n com\u00fan. Una soluci\u00f3n de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos inc\u00f3gnitas es un par de valores (xi<\/sub> , yi<\/sub>) que verifica las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar una soluci\u00f3n.
\nPor ejemplo:<\/p>\n

\"ecuaciones:<\/a><\/div>\n

Gr\u00e1ficamente:<\/p>\n

\"ecuaciones:<\/a><\/div>\n<\/p>\n

N\u00famero de Soluciones<\/h6>\n

Un sistema de ecuaciones, seg\u00fan el n\u00famero de soluciones que tenga, se llama:
\nSistema Compatible Determinado.<\/strong>
\nTiene una \u00fanica soluci\u00f3n. Es el caso del ejemplo anterior, la soluci\u00f3n del sistema es el punto donde las rectas coinciden. La representaci\u00f3n gr\u00e1fica del sistema son dos rectas que se cortan en un punto.\n<\/p>\n

\nSistema Compatible Indeterminado.<\/strong>
\nCuando tiene infinitas soluciones. Hay sistemas cuyas ecuaciones dicen lo mismo o que una ecuaci\u00f3n es proporcional a la otra, es decir, tenemos dos veces la misma ecuaci\u00f3n. Por ejemplo:<\/p>\n

\"ecuaciones:<\/a><\/div>\n

En el primer caso tenemos que las dos ecuaciones son id\u00e9nticas y en el segundo tenemos que la segunda ecuaci\u00f3n es la misma, pero multiplicada por 2; entonces si dividimos toda la ecuaci\u00f3n por 2, obtendremos dos ecuaciones id\u00e9nticas. Finalmente la conclusi\u00f3n es que el sistema tiene soluciones, pero \u00e9stas son infinitas. La representaci\u00f3n gr\u00e1fica del sistema son dos rectas coincidentes (se superponen).\n<\/p>\n

\nSistema Incompatible.<\/strong>
\nSi no tiene soluci\u00f3n. Hay sistemas cuyas ecuaciones dicen cosas contradictorias. Por ejemplo:<\/p>\n

\"ecuaciones:<\/a><\/div>\n

En este caso, nos dice por una parte que x+3y=6 y por otra que x+3y=12 y eso es absolutamente imposible porque para eso tendr\u00edan que adoptar las inc\u00f3gnitas valores distintos en cada ecuaci\u00f3n y entonces no ser\u00eda un sistema de ecuaciones. En consecuencia el sistema no tiene soluciones comunes.
\nLa representaci\u00f3n gr\u00e1fica del sistema son dos rectas que son paralelas. Dos sistemas de ecuaciones se dicen equivalentes cuando tienen la misma soluci\u00f3n.<\/p>\n

Podemos resumirlo de la siguiente forma:<\/p>\n

\"ecuaciones:<\/a><\/div>\n<\/p>\n

M\u00e9todos de resoluci\u00f3n.<\/h6>\n
M\u00e9todo de sustituci\u00f3n.<\/h6>\n

Consiste en despejar una inc\u00f3gnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra. Describimos los pasos que conviene dar para aplicar este m\u00e9todo:<\/p>\n

    \n
  1. Despejamos una inc\u00f3gnita en una de las ecuaciones.<\/li>\n
  2. Sustituimos la expresi\u00f3n de esta inc\u00f3gnita en la otra ecuaci\u00f3n, obteniendo una ecuaci\u00f3n con una sola inc\u00f3gnita.<\/li>\n
  3. Resolvemos esta ecuaci\u00f3n.<\/li>\n
  4. El valor obtenido se sustituye en la ecuaci\u00f3n en la que aparec\u00eda la inc\u00f3gnita despejada.<\/li>\n
  5. Se ha obtenido, as\u00ed, la soluci\u00f3n.<\/li>\n<\/ol>\n

    Aqu\u00ed ampliamos el concepto:<\/p>\n