{"id":1692,"date":"2016-05-01T16:48:17","date_gmt":"2016-05-01T19:48:17","guid":{"rendered":"http:\/\/hnaranjo.com\/blog\/?p=1692"},"modified":"2017-05-03T15:39:15","modified_gmt":"2017-05-03T18:39:15","slug":"matematica-vi-2016-unidad-1-2","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/hnaranjo.com\/blog\/matematica-vi-2016-unidad-1-2\/","title":{"rendered":"

Teor\u00eda de conjuntos.<\/h3>

2016 - Matem\u00e1tica VI - 6\u00ba A\u00f1o<\/h5>"},"content":{"rendered":"
\n
Conjuntos.<\/h6>\n

Cualquier colecci\u00f3n de objetos o individuos se denomina conjunto. En el contexto de la matem\u00e1tica, el t\u00e9rmino conjunto no tiene una definici\u00f3n sino que es un concepto.
\nUn conjunto est\u00e1 integrado por objetos y los objetos que integran el conjunto se llaman elementos de ese conjunto.
\nEn general usaremos letras may\u00fasculas para designar a los conjuntos y letras min\u00fasculas para designar a sus elementos. Si a<\/strong><\/em> es un elemento del conjunto A<\/strong><\/em> se escribe a \u2208 A<\/strong> y se lee a pertenece a A<\/em>. Si a no es elemento del conjunto A se escribe a \"no A<\/strong> y se lee a no pertenece a A.<\/em><\/p>\n

\u00bfC\u00f3mo lo definimos?.<\/h6>\n

Definir un conjunto es describir de una manera precisa, sin ambig\u00fcedades, cu\u00e1les son los elementos de dicho conjunto. Existen distintas maneras de definir un conjunto. Por extensi\u00f3n, es decir listando todos los elementos del conjunto separados por comas y encerrando todo entre llaves:
\nA = {1, 2, 3, 5, \u03c0}.
\nEl orden en el cual se enumeran los elementos del conjunto es irrelevante, y adem\u00e1s\u00a0se consideran una sola vez.
\nPor ejemplo: {1, 2, 3}, {3, 2, 1} y {1, 1, 2, 2, 2, 3} describen al mismo conjunto.
\nOtra forma de describir un conjunto es por comprensi\u00f3n, es decir enunciando una propiedad de los elementos que lo integran. A = {x | x cumple la propiedad P }, que se lee: \u201cel conjunto de los x tales que x cumple la propiedad P\u201d<\/strong><\/em>.<\/p>\n

Diagramas de Venn.<\/h6>\n

Es frecuente utilizar ciertos diagramas, llamados diagramas de Venn, para representar a los conjuntos. Un conjunto se representa con una l\u00ednea curva cerrada, y sus elementos con puntos en el interior. Por ejemplo, el diagrama de Venn para el conjunto A = {a, b, c, d} es:<\/p>\n

\"Conjuntos:<\/a><\/div>\n
Subconjuntos.<\/h6>\n

Consideremos los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5}.
\nComo podemos ver, los elementos de A: 1, 3 y 5, tambi\u00e9n son elementos de B. Decimos entonces que A es un subconjunto de B, o que A est\u00e1 incluido en B.
\nUn conjunto A es un subconjunto del conjunto B si todo elemento de A es tambi\u00e9n elemento de B. Se denota A \u2286 B y se dice que A est\u00e1 incluido o contenido en B.
\nEn particular, todo conjunto est\u00e1 inclu\u00eddo en s\u00ed mismo. Por ejemplo: A = {1, 3, 5} est\u00e1 incluido en A, y lo escribimos A \u2286 A.
\nDos conjuntos A y B son iguales si los elementos de A son elementos de B, y viceversa. Es decir, si A \u2286 B y tambi\u00e9n B \u2286 A.
\nNotemos que dos conjuntos pueden ser distintos pero tener uno o m\u00e1s elementos en com\u00fan. Por ejemplo.\u00a0A = {2, 4} y B = {1, 4, 6} son distintos pero el 4 es un elemento de ambos conjuntos.<\/p>\n

Conjuntos disjuntos.<\/h6>\n

Dos conjuntos se dicen disjuntos<\/em> si no tienen ning\u00fan elemento en com\u00fan. Los conjuntos C = {2, 4, 6} y D = {1, 3, 5, 7} son disjuntos.
\nSi A es un subconjunto de B, pero distinto de B, se dice que A es un subconjunto propio de B. La notaci\u00f3n A \u2286 B es correcta, pero si queremos resaltar que A y B son distintos, escribimos A \u2282 B.
\nConsideremos los conjuntos A = {x | x es un natural par y x < 10}, y B = {2, 4, 6, 8, 10}. En este caso, todo elemento de A es un elemento de B, y por lo tanto A es un subconjunto de B: A \u2286 B. Adem\u00e1s se cumple que 10 pertenece a B pero no pertenece a A, por lo cual A y B no son los mismos conjuntos. Decimos entonces que A es un subconjunto propio de B y lo escribimos A \u2282 B.<\/p>\n

Intervalos de n\u00fameros reales.<\/h6>\n

Un intervalo de n\u00fameros reales es un subconjunto de R<\/strong><\/em> que tiene la siguiente propiedad: dados dos n\u00fameros a y b en el intervalo, todos los n\u00fameros comprendidos entre a y b tambi\u00e9n pertenecen al intervalo.
\nGr\u00e1ficamente, un intervalo se identifica en la recta real con un segmento o una semirrecta, con o sin sus extremos, o con toda la recta real.
\nPor ejemplo:. el conjunto {x | 2 \u2264 x \u2264 8} es un intervalo, que se representa en la recta real como un segmento con extremos 2 y 8.
\nEl conjunto {x | x > \u22125} es un intervalo, que se representa en la recta real como una semirrecta, con origen en -5, sin contar este extremo.
\nPara los intervalos se utiliza una notaci\u00f3n espec\u00edfica, y se los clasifica adem\u00e1s en intervalos cerrados [ ], abiertos ( ) y semiabiertos [ ) \u00f3 ( ].<\/p>\n