{"id":1570,"date":"2016-03-15T02:04:24","date_gmt":"2016-03-15T05:04:24","guid":{"rendered":"http:\/\/hnaranjo.com\/blog\/?p=1570"},"modified":"2016-08-24T21:32:19","modified_gmt":"2016-08-25T00:32:19","slug":"matematica-vi-2016-unidad-1","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/hnaranjo.com\/blog\/matematica-vi-2016-unidad-1\/","title":{"rendered":"<h3> L\u00f3gica simb\u00f3lica. Proposiciones.<\/h3> <h5> 2016 - Matem\u00e1tica VI - 6\u00ba A\u00f1o<\/h5>"},"content":{"rendered":"<div style=\"text-align: justify;\">\n<h6>L\u00f3gica simb\u00f3lica.<\/h6>\n<p>Una oraci\u00f3n es una expresi\u00f3n gramaticalmente correcta que posee sentido completo. Las oraciones pueden ser de varios tipos: enunciativas, interrogativas, exclamativas, de posibilidad, etc.<br \/>\nLa <em>l\u00f3gica simb\u00f3lica<\/em> s\u00f3lo se interesa de las oraciones que pueden ser verdaderas o falsas: y que denominamos como <em>enunciados<\/em>.<br \/>\nUn enunciado es una expresi\u00f3n que tiene sentido completo y puede ser verdadero o falso, por ejemplo, \u201cHoy est\u00e1 soleado\u201d.<br \/>\nUn <em>argumento o deducci\u00f3n<\/em> es un razonamiento por el cual de un enunciado inicial (llamado premisa) se deduce un enunciado final (llamado conclusi\u00f3n). La forma de los argumentos es la estructura de \u00e9stos. Desde el punto de vista l\u00f3gico lo m\u00e1s importante es la forma o estructura de los argumentos (no sus contenidos).<\/p>\n<h6>L\u00f3gica formal y verdad l\u00f3gica.<\/h6>\n<p>La <em>l\u00f3gica formal<\/em>: ciencia abstracta que tiene por objeto el an\u00e1lisis formal de los argumentos, prescindiendo de su contenido. La verdad o falsedad se dice de los enunciados; por el contrario, la validez formal o correcci\u00f3n es un atributo de los argumentos o deducciones. Un argumento es v\u00e1lido (o correcto) cuando de las premisas se sigue necesariamente su conclusi\u00f3n.<br \/>\n<em>La l\u00f3gica no decide acerca de la verdad de los enunciados<\/em>, solo establece cu\u00e1ndo unas premisas, sean verdaderas o no, permiten extraer una conclusi\u00f3n. Si es as\u00ed, el razonamiento ser\u00e1 v\u00e1lido, correcto. Si no es as\u00ed, el razonamiento ser\u00e1 inv\u00e1lido, incorrecto.<\/p>\n<h6>Razonamiento.<\/h6>\n<p>Una forma de adquirir conocimiento es el <em>razonamiento<\/em>. Hay varios modos o formas de <em>razonar o argumentar<\/em> sobre una conclusi\u00f3n. Ciertas formas de razonamiento parecen mostrar que si se suponen ciertas premisas, entonces la conclusi\u00f3n se sigue necesariamente. A tales razonamientos se los ha denominado <em>deductivos<\/em>; y forman el objetivo central de la l\u00f3gica. En un sentido amplio, la misma hace referencia al estudio de todos los razonamientos, y en un sentido estricto al estudio del razonamiento deductivo.<br \/>\nUn tipo de razonamiento deductivo se basa en la <em>l\u00f3gica proposicional<\/em>. La l\u00f3gica proposicional toma como unidades b\u00e1sicas a las proposiciones y tiene en cuenta c\u00f3mo se combinan entre ellas por medio de conectivos l\u00f3gicos para formar argumentos v\u00e1lidos.<\/p>\n<h6>Proposiciones.<\/h6>\n<p>Una <em>proposici\u00f3n<\/em> es una sentencia declarativa que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Tambi\u00e9n podr\u00edamos decir que una proposici\u00f3n es una sentencia que expresa una propiedad para un individuo.<br \/>\nLa verdad (V) o falsedad (F) de una proposici\u00f3n se llama <em>valor de verdad<\/em> y est\u00e1 dada por alg\u00fan criterio independiente de la proposici\u00f3n. Las sentencias exclamativas, las interrogativas y las imperativas tales como: \u00a1Qu\u00e9 bueno!, \u00bfEst\u00e1 soleado? no son proposiciones puesto que no pueden ser declaradas como verdaderas o falsas.<\/p>\n<p>Podemos apreciar una buena explicaci\u00f3n en los siguientes v\u00eddeos:<\/p>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"><iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Q0ifGWGLdG0\" width=\"600\" height=\"465\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: left;\"><span style=\"font-family: inherit; font-size: xx-small; color: #000000;\">Fuente: youtube=https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Q0ifGWGLdG0<\/span><\/div>\n<h6>El c\u00e1lculo proposiconal.<\/h6>\n<p>En el c\u00e1lculo proposicional se usan las \u00faltimas letras min\u00fasculas del alfabeto (como p, q, r,&#8230;) para representar las proposiciones. Estos s\u00edmbolos pueden modificarse o combinarse mediante <em>conectivos l\u00f3gicos<\/em> dando lugar a las proposiciones compuestas.<\/p>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"><iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Ga3NZDHy8lI\" width=\"600\" height=\"465\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: left;\"><span style=\"font-family: inherit; font-size: xx-small; color: #000000;\">Fuente: youtube=https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Ga3NZDHy8lI<\/span><\/div>\n<h6>Los conectivos l\u00f3gicos.<\/h6>\n<p>Los conectivos l\u00f3gicos que estudiaremos son: la negaci\u00f3n: \u00ac (tambi\u00e9n se suele usar ~) , la conjunci\u00f3n: \u2227 , la disyunci\u00f3n: \u2228 , la disyunci\u00f3n exclusiva: <ins>v<\/ins> (otra alternativa es \u2206) , la implicaci\u00f3n: \u21d2 y la bicondicional o doble implicaci\u00f3n: \u21d4 .<br \/>\nA continuaci\u00f3n vemos el siguiente v\u00eddeo, con una detallada explicaci\u00f3n de cada uno de ellos.<\/p>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"><iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ixybdzH4-vU\" width=\"600\" height=\"465\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: left;\"><span style=\"font-family: inherit; font-size: xx-small; color: #000000;\">Fuente: youtube=https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ixybdzH4-vU<\/span><\/div>\n<h6>Operaciones con proposiciones.<\/h6>\n<p>De la misma forma que aritm\u00e9tica se estudian las diferentes operaciones entre n\u00fameros (suma, resta, producto, cociente, etc.), en l\u00f3gica estudiamos\u00a0operaciones entre proposiciones, con el uso de los diferentes conectivos l\u00f3gicos (negaci\u00f3n, conjunci\u00f3n, disyunci\u00f3n, implicaci\u00f3n y bicondicional).<br \/>\nVeamos el siguiente ejemplo para comprender mejor el tema:<\/p>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"><iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/eD9prwRn8xM\" width=\"600\" height=\"465\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: left;\"><span style=\"font-family: inherit; font-size: xx-small; color: #000000;\">Fuente: youtube=https:\/\/www.youtube.com\/embed\/eD9prwRn8xM<\/span><\/div>\n<h6>Tablas de Verdad.<\/h6>\n<p>Las <em>Tablas de verdad<\/em>: son el resultado de representar todas las posibilidades de asignar valores a las letras enunciativas y ver lo que ocurre en cada una de ellas. Sirven para saber si una f\u00f3rmula es consecuencia l\u00f3gica de otra.<br \/>\nPara establecer el valor de verdad de una proposici\u00f3n, en primer lugar se traduce al lenguaje simb\u00f3lico, a continuaci\u00f3n se asigna el valor de verdad de la proposici\u00f3n simple, y finalmente operamos con los conectivos l\u00f3gicos hasta hallar el valor de verdad de la proposici\u00f3n compuesta.<br \/>\nHemos de tener en cuenta que el n\u00famero de combinaciones posibles siempre es 2<sup>n<\/sup> , en donde 2 el n\u00famero de valores de verdad (verdadero y falso) y \u201cn\u201d es el n\u00famero de letras enunciativas (p, q, r,&#8230; etc.).<br \/>\nVeamos una breve explicaci\u00f3n del caso:<\/p>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"><iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/7Wdws1e8rcU\" width=\"600\" height=\"465\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: left;\"><span style=\"font-family: inherit; font-size: xx-small; color: #000000;\">Fuente: youtube=https:\/\/www.youtube.com\/embed\/7Wdws1e8rcU<\/span><\/div>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"><iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/YHeMRwSF1gM\" width=\"600\" height=\"465\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: left;\"><span style=\"font-family: inherit; font-size: xx-small; color: #000000;\">Fuente: youtube=https:\/\/www.youtube.com\/embed\/YHeMRwSF1gM<\/span><\/div>\n<h6>La tautolog\u00eda.<\/h6>\n<p>Conociendo ya como se obtiene el resultado de una tabla de verdad estamos en condiciones de afirmar que el resultado de una tabla de verdad puede ser una <em>tautolog\u00eda, una contradicci\u00f3n o una indeterminaci\u00f3n<\/em>.<br \/>\nUna tautolog\u00eda es una f\u00f3rmula que es siempre verdadera, sean cuales sean los valores de verdad de las proposiciones que la integran (En la \u00faltima columna todos los valores son \u201cv\u201d).<\/p>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"><iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/lnLoBDJag8E\" width=\"600\" height=\"465\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: left;\"><span style=\"font-family: inherit; font-size: xx-small; color: #000000;\">Fuente: youtube=https:\/\/www.youtube.com\/embed\/lnLoBDJag8E<\/span><\/div>\n<h6>La contradicci\u00f3n.<\/h6>\n<p>Una contradicci\u00f3n es una f\u00f3rmula que es siempre falsa, sean cuales sean los valores de verdad de las proposiciones que la integran (En la \u00faltima columna todos los valores son \u201cF\u201d).<\/p>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"><iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/mZ0OKwySEjY\" width=\"600\" height=\"415\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: left;\"><span style=\"font-family: inherit; font-size: xx-small; color: #000000;\">Fuente: youtube=https:\/\/www.youtube.com\/embed\/mZ0OKwySEjY<\/span><\/div>\n<h6>La indeterminaci\u00f3n.<\/h6>\n<p>Por \u00faltimo Indeterminada es una f\u00f3rmula que puede ser verdadera o falsa, seg\u00fan qu\u00e9 valores de verdad correspondan a las proposiciones que la integran.<\/p>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"><iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/uSZL6qm0F-c\" width=\"600\" height=\"465\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: left;\"><span style=\"font-family: inherit; font-size: xx-small; color: #000000;\">Fuente: youtube=https:\/\/www.youtube.com\/embed\/mZ0OKwySEjY<\/span><\/div>\n<h6>Funciones Proposicionales.<\/h6>\n<p>Dadas las siguientes proposiciones: q: El perro es un animal, r: La rosa es un animal y s: La vaca es un animal. Las tres proposiciones tienen en com\u00fan el predicado ling\u00fc\u00edstico \u201ces un animal\u201d, y tienen diferente el sujeto. La frase \u201ces un animal\u201d est\u00e1 dando una propiedad del sujeto. Si escribimos: x es un animal, obtenemos una oraci\u00f3n que no es una proposici\u00f3n dado que su valor de verdad depender\u00e1 del valor de x. As\u00ed, si a x le damos el valor x = \u201cEl perro\u201d obtenemos la proposici\u00f3n El perro es un animal que es verdadera, mientras que si a x le damos el valor x = \u201cLa rosa\u201d obtenemos la proposici\u00f3n La rosa es un animal que es falsa.<br \/>\nEn este ejemplo, la frase x es un animal es una funci\u00f3n proposicional, y la variable x toma valores en un conjunto llamado universo del discurso. Entonces, las funciones proposicionales no son proposiciones, pero para cada valor que le demos a x obtenemos una proposici\u00f3n. <\/p>\n<h6>Notaci\u00f3n.<\/h6>\n<p>A las funciones proposicionales las denotamos con una letra may\u00fascula seguida de la variable entre par\u00e9ntesis. Por ejemplo: P(x) : x es un animal. Tambi\u00e9n podemos tener funciones proposicionales con m\u00e1s de una variable, por ejemplo x es mayor que y. El valor de verdad en estos casos depender\u00e1 de los valores que tomen las variables x e y. As\u00ed, si x=0 e y=3, la proposici\u00f3n 0 es mayor que 3 es falsa, mientras que si x=4 e y=\u03c0, la proposici\u00f3n 4 es mayor que \u03c0 es verdadera.<\/p>\n<h6>Cuantificadores.<\/h6>\n<p>Los cuantificadores nos permiten construir proposiciones a partir de funciones proposicionales ya sea particularizando o generalizando. Ejemplifiquemos esto. Si consideramos la funci\u00f3n proposicional P(x):x es mayor que 0, podemos particularizar esto diciendo: Existe un n\u00famero real que es mayor que 0, o generalizarlo diciendo Todos los n\u00fameros reales son mayores que 0.<br \/>\nNotemos que tanto en la particularizaci\u00f3n como en la generalizaci\u00f3n se especifica un conjunto en donde toma valores la variable, en este ejemplo el conjunto son los n\u00fameros reales.<\/p>\n<h6>Notaci\u00f3n.<\/h6>\n<p>Existe una notaci\u00f3n espec\u00edfica para la particularizaci\u00f3n y la generalizaci\u00f3n:<br \/>\n\u2203 x \u2208 R | x &gt; 0, que se lee existe (\u2203) un x que pertenece (\u2208) a los n\u00fameros reales (R) tal que x es mayor que 0; mientras que<br \/>\n\u2200 x \u2208 R, x &gt; 0 se lee para todo(\u2200) x que pertenece (\u2208) a los n\u00fameros reales (R) se cumple que(,) x es mayor que 0.<br \/>\nEl s\u00edmbolo \u2200 se llama cuantificador universal y el s\u00edmbolo \u2203 es el cuantificador existencial.<\/p>\n<h6>Equivalencia L\u00f3gica.<\/h6>\n<p>En l\u00f3gica, las declaraciones p y q son l\u00f3gicamente equivalentes si tienen el mismo contenido l\u00f3gico. Este es un concepto sem\u00e1ntico, dos afirmaciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos (Mendelson 1979:56). La equivalencia l\u00f3gica de p y q algunas veces se expresa como p\u2261q, Epq, o p\u21d4q.<\/p>\n<p>En el link que sigue pueden bajar el apunte de la primera unidad: <a href=\"https:\/\/app.box.com\/s\/v3uuo0aycpy5rcyggffeo3y45awhowpo\" target=\"_blank\">Matem\u00e1ticas: Unidad N\u00ba 1<\/a><\/p>\n<p>Es todo por ahora. Recuerden que pueden comentar, aportar o preguntar al final de cada art\u00edculo publicado en el blog o en la <a href=\"https:\/\/web.facebook.com\/ElProfeVirtual\/?ref=hl\" target=\"_blank\">p\u00e1gina de facebook<\/a><\/p>\n<p>Nos vemos en el aula&#8230;.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<div class=\"mh-excerpt\"><p>L\u00f3gica simb\u00f3lica. Una oraci\u00f3n es una expresi\u00f3n gramaticalmente correcta que posee sentido completo. 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